1단계: 분모의 유리화와 소거
\(\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)이므로 제시문 [가]에 의하여 \(S_n=\sqrt{n+1}-1\)이다.

2단계: 최솟값
\(\sqrt{n+1}-1\ge10 \iff n+1\ge121 \iff n\ge120\)이므로 최솟값은 \(\mathbf{120}\)이다.

3단계: \(T-2T\) 계산
\(T-2T=(2+2^2+\cdots+2^{10})-10\cdot2^{11}\)이다. 제시문 [나]에 의하여 \(2+\cdots+2^{10}=2^{11}-2=2046\)이므로 \(-T=2046-20480=-18434\), 즉 \(T=\mathbf{18434}\)이다.

최종 정답: (1) \(S_n=\sqrt{n+1}-1\), \(n=120\) (2) \(T=18434\)

1단계: \(x=0\)에서의 연속
\(f(x)g(x)\)는 \(x\ne0\)에서 연속이다. \(x=0\)에서 좌극한은 \(-f(0)\), 우극한과 함숫값은 \(f(0)\)이므로 \(f(0)=-f(0)\), 즉 \(b=0\)이다.

2단계: \(x=2\)에서의 연속
마찬가지로 \(f(x)g(x-2)\)가 \(x=2\)에서 연속이려면 \(f(2)=0\)이므로 \(4+2a=0\), \(a=-2\)이다. 따라서 \(f(x)=x^2-2x\)이다.

3단계: 정적분 계산
\(0\le x\le2\)에서 \(f\le0\), \(2\le x\le3\)에서 \(f\ge0\)이므로 \[\int_0^2(2x-x^2)dx+\int_2^3(x^2-2x)dx=\frac43+\frac43=\mathbf{\frac83}\]이다.

최종 정답: (1) \(a=-2,\ b=0\) (2) \(\frac83\)

1단계: 극값
\(f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x+1)(x-2)\)이다. 부호 변화에 의하여 극솟값 \(f(-1)=k-5\), 극댓값 \(f(0)=k\), 극솟값 \(f(2)=k-32\)이다.

2단계: 네 실근 조건
최고차항의 계수가 양수인 사차함수이므로 네 실근을 가지려면 극댓값 \(k\gt0\)이고 두 극솟값 \(k-5\lt0,\ k-32\lt0\)이어야 한다. 즉 \(0\lt k\lt5\)이므로 정수 \(k\)는 \(1,2,3,4\)의 \(\mathbf{4}\)개이다.

3단계: \(k=5\)인 경우
\(f(-1)=0\)이므로 \(x=-1\)에서 \(x\)축에 접하고, \(f(0)=5\gt0\), \(f(2)=-27\lt0\)이므로 \((0,2)\)와 \((2,\infty)\)에서 각각 한 번씩 \(x\)축과 만난다. 따라서 서로 다른 실근은 \(\mathbf{3}\)개이다.

최종 정답: (1) \(k-5,\ k,\ k-32\) (2) \(4\)개 (3) \(3\)개

1단계: 양변 미분
양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x)=f(x)+xf'(x)-6x^2\)이므로 \(f'(x)=6x\), \(f(x)=3x^2+C\)이다. \(f(0)=-1\)에서 \(f(x)=3x^2-1\)이다.

2단계: 상수 \(a\)
주어진 식에 \(x=1\)을 대입하면 \(0=f(1)-2+a=2-2+a\)이므로 \(a=0\)이다.

3단계: 넓이
\(3x^2-1=2x\)에서 \((3x+1)(x-1)=0\), \(x=-\frac13, 1\)이다. 넓이는 \[\int_{-1/3}^{1}(2x-3x^2+1)\,dx=\frac{3}{6}\left(\frac43\right)^3=\mathbf{\frac{32}{27}}\]이다.

최종 정답: (1) \(f(x)=3x^2-1\), \(a=0\) (2) \(\frac{32}{27}\)